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反三角函数定义域

反三角函数定义域

反三角函数定义域首先,记住arcsin的定义域是[-π/2,π/2],arccos的定义域是[0,π]所以,想办法把sin,cos的变量变到相应的范围内即可。反三角函数性质反三角函数的图像反三角函数运算法则下表列出基本的反三角函数:名称常用符号定义定义域值域反正弦反余弦反正切反余切反正割反余割反三角函数之间的关系:补角:负数参数:倒数参数:如果如果

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1. 反三角函数定义域

首先,记住arcsin的定义域是[-π/2,π/2],arccos的定义域是[0,π]

所以,想办法把sin,cos的变量变到相应的范围内即可。

2. 反三角函数性质

3. 反三角函数的图像

4. 反三角函数运算法则

下表列出基本的反三角函数:

名称常用符号定义定义域值域反正弦y=\arcsin xx=\sin y[-1,1][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]反余弦y=\arccos xx=\cos y[-1,1][0,\pi]反正切y=\arctan xx=\tan y\mathbb{R}(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})反余切y=\arccot xx=\cot y\mathbb{R}(0,\pi)反正割y=\arcsec xx=\sec y(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi]反余割y=\arccsc xx=\csc y(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)[-\frac{\pi}{2},0)\cup(0,\frac{\pi}{2}]

反三角函数之间的关系:

补角:

    \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x

    \arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x

    \arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x

    负数参数:

      \arcsin (-x) = - \arcsin x \!

      \arccos (-x) = \pi - \arccos x \!

      \arctan (-x) = - \arctan x \!

      \arccot (-x) = \pi - \arccot x \!

      \arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!

      \arccsc (-x) = - \arccsc x \!

      倒数参数:

        \arccos \frac{1}{x} \,= \arcsec x

        \arcsin \frac{1}{x} \,= \arccsc x

        \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arctan x =\arccot x, \ 如果\ x > 0

        \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2} - \arctan x = -\pi + \arccot x, \ 如果\ x < 0

        \arccot \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} - \arccot x =\arctan x, \ 如果\ x > 0

        \arccot \frac{1}{x} = \frac{3\pi}{2} - \arccot x = \pi + \arctan x,\ 如果\ x < 0

        \arcsec \frac{1}{x} = \arccos x

        \arccsc \frac{1}{x} = \arcsin x

        如果有一段正弦表:

          \arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2}, 如果\ 0 \leq x \leq 1

          \arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}

          注意只要在使用了复数的平方根的时候,我们选择正实部的平方根(或者正虚部,如果是负实数的平方根的话)。

          从半角公式\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} ,可得到:

            \arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}

            \arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},如果 -1 < x \leq +1

            \arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}

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