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正弦定理公式

正弦定理公式

正弦定理公式c/b=sinc/sinb正弦定理的证明显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c = 2R。若∠C为锐角或钝角,过B作直径BD交⊙O于D,连接DA,显然BD=2R。∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。∴∠DAB是直角。

目录

1. 正弦定理公式

c/b=sinc/sinb

2. 正弦定理的证明

显然,只需证明任意三角形内,任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。

现将△ABC,做其外接圆,设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。

若∠C为直角,则AB就是⊙O的直径,即c = 2R。

若∠C为锐角或钝角,过B作直径BD交⊙O于D,连接DA,显然BD=2R。

∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。

∴∠DAB是直角。

若∠C为锐角,则D与C落于AB的同侧,此时

∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。

若∠C为钝角,则D与C落于AB的异侧,此时∠D=180°-∠C,亦可推出

在△DAB中,应用正弦函数定义,知

因此,对任意三角形的任一角及其对边,均有上述结论。

考虑同一个三角形内的三个角及三条边,应用上述结果。可得故对任意三角形,定理得证。

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