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证明余弦定理

证明余弦定理

如何证明余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边

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1. 如何证明余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题,若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识,则使用起来更为方便、灵活。

从余弦定理和余弦函数的性质可以看出,如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

2. 用向量证明余弦定理

=b+c-2bccosA

由向量加法的三角形法则可得

· =( )(

² -2·²

=||² -2||·||cosC+||²

=b²-2b·acosC+a² 即c²=a²+b²-2abcosC

注意:(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三 角形法则。

(2)在证明过程中应强调学生注意的是两向量夹角的确定,AC 与AB 属于同 起点向量,则夹角为A;AB 与BC 是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B; AC 与BC 是同终点,则夹角仍是角C。

3. 利用复数证明余弦定理

余弦定理的复数证法 证明:如下图,在复平面内作△ABC,则 =a(cosB+i sinB),= =b[cos(-A)+i sin(-A)]=,这里C'是平行四边形ACBC'的顶点,根据复数加法的几何意义可知 =+=+ 所以c=a(cosB+i sinB)+b[cos(-A)+i sin(-A)] =(acosB+bcosA)+(asinB-bsinA)i。  (*) 根据复数相等的定义, 有asinB-bsinA=0, 即。 对(*)式两边取模,得 c2=(acosB+bcosA)2+(asinB-bsinA)2 =a2+b2+2abcos(B+A) =a2+b2-2abcosC 其他各式同理可证。

4. 坐标法证明余弦定理

在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点,AC所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是C点坐标是(b,0),由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA).

现将CB平移到起点为原点A,则AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C ,

根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C),asin(π-C))

即 D点坐标是(-acosC,asinC),

∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB

∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA)

∴ asinC = csinA …………①

-acosC = ccosA-b ……②

由①得 asinA = csinC ,同理可证 asinA = bsinB ,

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ,平方得:

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ,

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ,

c2 = a2 + b2-2abcosC .

5. 探索勾股定理

中文名称;勾股定理。西方称之为毕达哥拉斯定理。

内容:直角三角形中两直角边长的平方和等于斜边的平方。

设直角三角形中两直角边长分别为a。b,斜边长为c,则有;a^2+b^2=c^2

证明;

勾股定理的证明有很多的方法:图形+公式证明。

那么第三边所对的角一定是直角,如果小于第三边的平方,那么第三边所对的角是钝角,如果大于第三边,那么第三边所对的角是锐角.即,利用余弦定理,可以判断三角形形状。同时,还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。

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