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叙述并证明余弦定理

叙述并证明余弦定理

叙述余弦定理余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍;或在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.证法一:a2=BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AB AC=b2-2bccosA+c2即a2=b2+c2-2bccosA同理可证b2=c2+

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1. 叙述余弦定理

余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍;或在△ABC中,a,b,c为A,B,C的对边,有a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.

证法一:a2=BC2=(AC-AB)2=AC2+AB2-2AB AC=b2-2bccosA+c2

即a2=b2+c2-2bccosA

同理可证b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC;

证法二:已知△ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,

则C(bcosA,bsinA),B(c,0),

∴a2=|BC|2=(bcosA-c)2+(bsinA)2=b2+c2-2bccosA=b2cos2A-2bccosA+c2+b2sin2A,

同理可证b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.

2. 坐标法证明余弦定理

在ABC中,三内角A、B、C所对的边分别是a、b、c . 以A为原点,AC所在的直线为x轴建立直角坐标系,于是C点坐标是(b,0),由三角函数的定义得B点坐标是(ccosA,csinA) . ∴CB = (ccosA-b,csinA).

现将CB平移到起点为原点A,则AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ,∠DAC = π-∠BCA = π-C ,

根据三角函数的定义知D点坐标是 (acos(π-C),asin(π-C))

即 D点坐标是(-acosC,asinC),

∴ AD = (-acosC,asinC) 而 AD = CB

∴ (-acosC,asinC) = (ccosA-b,csinA)

∴ asinC = csinA …………①

-acosC = ccosA-b ……②

由①得 asinA = csinC ,同理可证 asinA = bsinB ,

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ,平方得:

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ,

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可证 b2 = a2 + c2-2accosB ,

c2 = a2 + b2-2abcosC .

3. 向量法证明余弦定理

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