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三角形余弦定理

三角形余弦定理

球面三角形余弦定理平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性,到了平面三角学,把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的余弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c ,它们的对角分别是,则其中,分别表示的余弦。 三角形的正弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c ,它们的对角分别是,则&n

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1. 球面三角形余弦定理

平面几何中的三角形全等判定条件说明了平面三角形的唯一性,到了平面三角学,把这种唯一性定理提升到有效能算的角边函数关系。其中最基本的就是三角形的余弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c ,它们的对角分别是,则

其中,分别表示的余弦。

三角形的正弦定理:设三角形 ABC 的三条边分别是 a 、b 、c ,它们的对角分别是,则

类似地,球面三角形也有有效能算的边角函数关系,其中最主要的结果就是球面三角的正弦定理和余弦定理。

为证明球面三角余弦定理,我们介绍有关向量的另一种乘积—外积。

两向量a与b的外积是一个矢量,记做a×b,它的模是|a×b|=|a||b|(a,b),它的方向与a,b都垂直,并且按a,b,a×b这个顺序构成右手标架。

对于向量的外积,有拉格朗日恒等式成立。

a×b)·(a’×b’)=(a·a’)·(b·b’)-(a·b’)·(b·a’)

定理(球面三角余弦定理)在单位球面上,对于任给球面三角形,其三边和三角恒满足下述函数关系

2. 直角三角形余弦定理

1.余弦定理

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即a²=b²+c²-2bccos_A,b²=c²+a²-2cacos_B,c²=a²+b²-2abcos_C.

2.余弦定理的推论

cosA=b²+c²-a²/2bc;cosB=c²+a2-b2/2ca;cosC=a²+b²-c²/2ab.

3.在△ABC中:

(1)若a²+b²-c²=0,则C=90°;

(2)若c²=a²+b²-ab,则C=60°;

(3)若c²=a²+b²+2ab,则C=135°

3. 钝角三角形余弦定理

a²=b²+c²-2bccos_A,

b²=c²+a²-2cacos_B,

c²=a²+b²-2abcos_C.

角小于90度时,COS(角)的值为正;角大于90度时,COS(角)的值为负。

4. 三角形余弦定理公式

a²=b²+c²-2bccos_A,

b²=c²+a²-2cacos_B,

c²=a²+b²-2abcos_C.

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