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均值不等式

均值不等式

均值不等式定义均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。均值不等式公式均值不等式的证明关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介

目录

1. 均值不等式定义

均值不等式,又名平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式:公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn,即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。

2. 均值不等式公式

3. 均值不等式的证明

关于均值不等式的证明方法有很多,数学归纳法(第一数学归纳法或反向归纳法)、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等,都可以证明均值不等式,在这里简要介绍数学归纳法的证明方法:

(注:在此证明的,是对n维形式的均值不等式的证明方法。)

用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。

引理:设A≥0,B≥0,则

注:引理的正确性较明显,条件A≥0,B≥0可以弱化为A≥0,A+B≥0,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。

原题等价于:

当n=2时易证;

假设当n=k时命题成立,即

。那么当n=k+1时,不妨设a(k+1)是a1,a2 ,…,中最大者,则

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式,同时还有柯西归纳法等等方法。

4. 均值不等式求最值

均值不等式是解决最值问题的有效工具。运用均值不等式求最值要同时满足条件:一正、二定、三相等,缺一不可。多数求最值的问题具有隐蔽性,需要进行适当地变形才能用均值不等式求解。掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值。

1. 凑系数

例1 当0<x<4时,求y=x(8-2x)的最大值。

利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,本题是积的形式,但其和不是定值。注意到2x+(8-2x)=8为定值,故需将“x”项凑上一个系数即可。

点评:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。

2. 凑项

例2 y=x+1/x-1(x<1)求的最值。

分析:由题意知x-1<0,首先要调整符号,而x·1/x-1不是定值,需对进行凑项才能得到定值,然后用均值不等式。

3. 分离

例3 经过长期观测可知,在交通繁忙的时段内,某路段汽车的车流量(千辆/小时)与 汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系式为y=920v/v²+3v+1600(v>0)。

在该时段内,当汽车的平均速率为多大时车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/小时)

分析:只要把分子上的变量分离出来,转化到分母上就可以用均值不等式求解。

4. 平方

例4 求函数的最大值。

分析:注意到2x-1=5-2x与的和为定值,只要对解析式两边取平方,即可用均值不等式求解。

5. 代换

例6 已知正数x、y满足8/x+1/y=1,求x+2y的最小值。

分析:将x+2y看作(x+2y)×1,1用已知条件整体代换,可用均值不等式求解。

由题意知,当且仅当x/y=16y/x且8/x+1/y=1时等号成立,又因x、y为正数,解得x=12,y=3,故x+2y最小值是18。

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