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与三角形有关的线段

与三角形有关的线段

三角形的概念由不在同一直线上的三条线段,首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形(triangle),符号为△。三角形是几何图案的基本图形。三角形具有稳定性。三角形的分类三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形;有一个角是直角的三角形叫做直角三角形;有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形;三条边都相等的三角形,叫做等边三角形三角形的高、中线、角平分线1)角平分线三角形

目录

1. 三角形的概念

由不在同一直线上的三条线段,首尾顺次相接所得到的几何图形叫做三角形(triangle),符号为△。三角形是几何图案的基本图形。三角形具有稳定性。

2. 三角形的分类

三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形;

有一个角是直角的三角形叫做直角三角形;

有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。

有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形;

三条边都相等的三角形,叫做等边三角形

3. 三角形的高、中线、角平分线

1)角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线。(也叫三角形的内角平分线。)

由定义可知,三角形的角平分线是一条线段。

由于三角形有三个内角,所以三角形有三条角平分线。

性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.

1、三角形的角平分线都在三角形内。

2、三角形的角平分线长为:

...................____

ta=2/(b+c)·√bcp(p-a) ;

...................____

tb=2/(c+a)·√cap(p-b) ;

...................____

tc=2/(a+b)·√abp(p-c) 。

3、三角形的三条角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心。常记作点I。

定理

三角形内角平分线的性质定理:三角形的内角平分线内分对边成两条线段,那么这两条线段与这个角的两边对应成比例。

三角形内角平分线的判定定理:在⊿ABC中,若点D按照边AB和边AC的比内分边BC,则线段AD是∠BAC的平分线。

定义

三角形的一个外角平分线与这个角的对边所在直线相交,连结这个角的顶点和交点的线段叫做三角线外角平分线。

由定义可知,三角形的外角平分线是一条线段。

由于三角形有六个外角,所以三角形有六条外角平分线。

把一个较平均分成两个角的线段或射线叫做这个角的平分线。

性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.

1、三角形的外角平分线都在三角形外。

2、三角形的一条内角的平分线与不相邻的两个外角的平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心。

定理

三角形外角平分线的性质定理:三角形的外角平分线分对边成两条线段,那么这两条线段与相邻的两边对应成比例。

三角形外角平分线的判定定理:在⊿ABC中,若点D按照边AB和边CD的比外分边BC,则线段AD是⊿ABC的角∠BAC的外角平分线。

三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离相等。

2)中线

定义

三角形中,连结一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线。

由定义可知,三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边,所以一个三角形有三条中线。

性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c.

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长:

................_______

ma=(1/2)√2b^2+2c^2-a^2 ;

................_______

mb=(1/2)√2c^2+2a^2-b^2 ;

................_______

mc=(1/2)√2a^2+2b^2-c^2 。

(ma,mb,mc分别为角A,B,C所对的中线长)

3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3)高

定义

从三角形一个顶点向它的对边(或对边所在的直线)作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称为高。

由定义知,三角形的高是一条线段。

由于三角形有三条边,所以三角形有三条高。

性质

设⊿ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.

1、锐角三角形的高都在三角形的内部;钝角三角形的高中有两条在三角形的外部;直角三角形的高中有两条恰好是三角形的两条直角边。

2、三角形的高线长为:

..............._______

ta=(2/a)√p(p-a)(p-b)(p-c);

..............._______

tb=(2/b)√p(p-a)(p-b)(p-c);

..............._______

tc=(2/c)√p(p-a)(p-b)(p-c)。

3、三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心。常记作点H。

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