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勾股定理的历史

勾股定理的历史

勾股定理的历史毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了这个事实,而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据,有案可查。相

目录

1. 勾股定理的历史

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。

早在毕达哥拉斯之前,许多民族已经发现了这个事实,而且古巴比伦、古埃及、古中国、古印度等的发现都有真凭实据,有案可查。相反,毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来,关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平,之所以这样,是因为现代的数学和科学来源于西方,而西方的数学及科学又来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”,而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”,西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此,毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过,在中国,因为我们的老祖宗也研究过这个问题,因此称为商高定理,而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。

古埃及人用这样的方法画直角勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”,而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样,世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究,因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形,较短的直角边称为勾,另一直角边称为股,斜边称为弦,所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年,据记载,商高(约公元前1120年)答周公曰“故折矩,以为句广三,股修四,径隅五。既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五。两矩共长二十有五,是谓积矩。”因此,勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子,曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾,日高为股,勾、股各乘并开方除之得邪至日。

还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年,希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理,因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现,毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵,因此这个定理又有人叫做“百牛定理”.

商高定理商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周,是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说:“…故折矩,勾广三,股修四,经隅五。”商高那段话的意思就是说:当直角三角形的两条直角边分别为3(短边)和4(长边)时,径隅(就是弦)则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现,《周髀算经》上说:"故禹之所以治天下者,此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五",这句话的意思就是说:勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

2. 勾股定理的证明

毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理,传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。在中国,《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明,相传是在商代由商高发现,故又有称之为商高定理,三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释,又给出了另外一个证明。埃及称为埃及三角形。

【证法1】(梅文鼎证明)

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

【证法2】(项明达证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP‖BC,交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点

F作FN⊥PQ,垂足为N.

∵ ∠BCA = 90°,QP‖BC,

∴ ∠MPC = 90°,

∵ BM⊥PQ,

∴ ∠BMP = 90°,

∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °,

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°,

∴ ∠QBM = ∠ABC,

又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c,

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2

【证法3】(赵浩杰证明)

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

∴FI=a,

∴G,I,J在同一直线上,

∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

∠CJB = ∠CFD = 90°,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,

同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上,

所以a^2+b^2=c^2

【证法4】(欧几里得证明)

作三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE,

交AB于点M,交DE于点L.

∵ AF = AC,AB = AD,

∠FAB = ∠GAD,

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD,

∵ ΔFAB的面积等于,

ΔGAD的面积等于矩形ADLM

的面积的一半,

∴ 矩形ADLM的面积 =.

同理可证,矩形MLEB的面积 =.

∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

【证法5】欧几里得的证法

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下:

设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加, AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

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