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二元一次方程组

二元一次方程组

二元一次方程组定义把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。二元一次方程定义:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。二元一次方程组定义:含有两个相同未知数的两个二元一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。二元一次方程组的解:二元一次方

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1. 二元一次方程组定义

把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起,那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。

二元一次方程定义:一个方程含有两个未知数,并且未知数的指数都是1的整式方程,叫二元一次方程。

二元一次方程组定义:含有两个相同未知数的两个二元一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

二元一次方程的解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组的解:二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。

2. 二元一次方程组解法汇总

消元法

1)代入消元法

用代入消元法的一般步骤是:

1.选一个系数比较简单的方程进行变形,变成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式;

2.将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程,消去一个未知数,从而将另一个方程变成一元一次方程;

3.解这个一元一次方程,求出 x 或 y 值;

4.将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程(y = ax +b 或 x = ay + b),求出另一个未知数;

5。把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程的解。[1]

例:解方程组 :x+y=5①

6x+13y=89②

解:由①得x=5-y③

把③代入②,得6(5-y)+13y=89

得 y=59/7

把y=59/7代入③,得x=5-59/7

得x=-24/7

∴ x=-24/7

y=59/7 为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数,从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法(elimination by substitution),简称代入法。

2)加减消元法

用加减法消元的一般步骤为:

①在二元一次方程组中,若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数),则可直接相减(或相加),消去一个未知数;

②在二元一次方程组中,若不存在①中的情况,可选择一个适当的数去乘方程的两边,使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数),再把方程两边分别相减(或相加),消去一个未知数,得到一元一次方程;

③解这个一元一次方程;

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程,求另一个未知数的值;

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来,这就是二元一次方程组的解。

例:解方程组:

x+y=9①

x-y=5②

解:①+②

2x=14

即 x=7

把x=7代入①,得

7+y=9

解,得:y=2

∴ x=7

y=2 为方程组的解

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等,然后把两个方程相加(或相减),以消去这个未知数,使方程只含有一个未知数而得以求解。像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(elimination by addition-subtraction),简称加减法。

3)加减-代入混合使用的方法

例1 13x+14y=41 ⑴

14x+13y=40 ⑵

解:⑵-⑴得

x-y=-1

x=y-1 ⑶

把⑶代入⑴得

13(y-1)+14y=41

13y-13+14y=41

27y=54

y=2

把y=2代入⑶得

x=1

所以:x=1,y=2

特点:两方程相加减,单个x或单个y,这样就适用接下来的代入消元.

换元法

例2,(x+5)+(y-4)=8

(x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可写为

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特点:两方程中都含有相同的代数式,如题中的x+5,y-4之类,换元后可简化方程也是主要原因。

设参数法

例3,x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为:5t+6*4t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法,即将相应二元一次方程改写成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像,两条直线的交点坐标即二元一次方程组的解。

3. 二元一次方程组知识点汇总

1、含有未知数的等式叫方程,使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解。

2、方程含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程叫二元一次方程,二元一次方程的一般形式为 ( 为常数,并且 )。使二元一次方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程的解,一个二元一次方程一般有无数组解。

3、方程组含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数都是1,这样的方程组叫二元一次方程组。使二元一次方程组每个方程的左右两边的值相等的未知数的值叫二元一次方程组的解,一个二元一次方程组一般有一个解。

4、用代入法解二元一次方程组的一般步骤:观察方程组中,是否有用含一个未知数的式子表示另一个未知数,如果有,则将它直接代入另一个方程中;如果没有,则将其中一个方程变形,用含一个未知数的式子表示另一个未知数;再将表示出的未知数代入另一个方程中,从而消去一个未知数,求出另一个未知数的值,将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值。

5、用加减法解二元一次方程组的一般步骤:

(1)方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数,就用适当的数去乘方程的两边,使同一个未知数的系数相等或互为相反数;

(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数;

(3)解这个一元一次方程,求出一个未知数的值;

(4)将求出的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程,求出另外一个未知数的值,从而得到原方程组的解。

6、解三元一次方程组的一般步骤:

①观察方程组中未知数的系数特点,确定先消去哪个未知数;

②利用代入法或加减法,把方程组中的一个方程,与另外两个方程分别组成两组,消去同一个未知数,得到一个关于另外两个未知数的二元一次方程组;

③解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;

④将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程中,求出第三个未知数的值,从而得到原三元一次方程组的解。

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