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圆

圆的初步认识 一、圆及圆的相关量的定义(28个) 1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。

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1. 圆及圆的相关量的定义(28个)

1.平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心,定长称为半径。

2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

3.顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上,且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

4.过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆,其圆心称为内心。

5.直线与圆有3种位置关系:无公共点为相离;有2个公共点为相交;圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点。

6.两圆之间有5种位置关系:无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含;有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切;有2个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

7.在圆上,由2条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

2. 有关圆的字母表示方法(7个)

圆--⊙      半径—r      弧--⌒      直径—d

扇形弧长/圆锥母线—l      周长—C      面积—S

3. 有关圆的基本性质与定理(27个)

1.点P与圆O的位置关系(设P是一点,则PO是点到圆心的距离):P在⊙O外,PO>r;P在⊙O上,PO=r;P在⊙O内,PO<r。

2.圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形,其对称中心是圆心。

3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。逆定理:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中,如果2个圆心角,2个圆周角,2条弧,2条弦中有一组量相等,那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

5.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

7.不在同一直线上的3个点确定一个圆。

8.一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点,到三角形3个顶点距离相等;内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点,到三角形3边距离相等。

9.直线AB与圆O的位置关系(设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离):

  AB与⊙O相离,PO>r;AB与⊙O相切,PO=r;AB与⊙O相交,PO<r。

10.圆的切线垂直于过切点的直径;经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线,是这个圆的切线。

11.圆与圆的位置关系(设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P):


  外离P>R+r;外切P=R+r;相交R-r<P<R+r;内切P=R-r;内含P<R-r。

4. 有关圆的计算公式

1.圆的周长C=2πr=πd    

2.圆的面积S=πr??    

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr??/360=rl/2      

5.圆锥侧面积S=πrl

5. 圆的方程

1.圆的标准方程
在平面直角坐标系中,以点O(a,b)为圆心,以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

2.圆的一般方程

把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

和标准方程对比,其实D=-2a,E=-2b,F=a^2+b^2

相关知识:圆的离心率e=0.在圆上任意一点的曲率半径都是r.

6. 圆与直线的位置关系判断

链接:圆与直线的位置关系(一.5)

  平面内,直线Ax+By+C=O与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是

  讨论如下2种情况:

(1)由Ax+By+C=O可得y=(-C-Ax)/B,[其中B不等于0],

  代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,即成为一个关于x的一元二次方程f(x)=0.

  利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下:

  如果b^2-4ac>0,则圆与直线有2交点,即圆与直线相交

  如果b^2-4ac=0,则圆与直线有1交点,即圆与直线相切

  如果b^2-4ac<0,则圆与直线有0交点,即圆与直线相离

(2)如果B=0即直线为Ax+C=0,即x=-C/A.它平行于y轴(或垂直于x轴)

  将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

  令y=b,求出此时的两个x值x1,x2,并且我们规定x1<x2

  当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时,直线与圆相离

  当x1<x=-C/A<x2时,直线与圆相交

  当x=-C/A=x1或x=-C/A=x2时,直线与圆相切

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